Может ли работник с III группой инвалидности работать?

Да, может. Прием на работу инвалида ЛЮБОЙ ГРУППЫ оформляется как обычно.
Если работник представит справку об инвалидности и ИПРА, особенности условий его труда зафиксируйте в трудовом договоре. Представлять эти документы и сообщать об установлении инвалидности работник не обязан.
Продолжительность рабочего времени инвалида I и II группы не более 35 часов в неделю, III группы — не более 40 часов, как и у обычных работников. Длительность ежедневной работы инвалида может быть указана в медицинском заключении, а виды деятельности и условия труда — в ИПРА.
При необходимости оборудуйте инвалиду специальное рабочее место (ст. ст. 92, 94 ТК РФ, ст. 24 Закона N 181-ФЗ).